Marginalia — Cuaderno Interactivo The history of the concept of a function and its teaching in Russia.

El texto de Ildar Safuanov plantea una problemática central en la educación matemática contemporánea: la brecha epistemológica entre el rigor matemático formal y los métodos pedagógicos para introducir el concepto de función. El autor argumenta detalladamente que los cambios en la enseñanza de este concepto están condicionados de forma intrínseca por la propia historia de la evolución matemática del término.

El núcleo metodológico defendido en esta sección es la aplicación del método genético, el cual sostiene que para elaborar un diseño didáctico eficaz es un requisito obligatorio comprender los obstáculos históricos que los propios matemáticos enfrentaron a lo largo de los siglos. Safuanov concluye con una premisa de debate académico: no existe actualmente un consenso unificado sobre si se debe introducir una definición conjuntista moderna y rigurosa (aplicaciones/mapeos) desde la educación básica o si se debe transicionar progresivamente de un enfoque intuitivo a uno formal.

The changes in the teaching the concept of function have been largely determined by the history of the concept itself. Thus, in order to trace the history of teaching the concept of function, we should first make a short survey of the history of the concept itself. (Pág. 1866)

Esta frase constituye la tesis de partida del autor. Establece el marco metodológico del ensayo y justifica la sección histórica subsiguiente no como un elemento meramente ilustrativo, sino como una necesidad estructural en la investigación pedagógica.

El autor enfatiza que la enseñanza de la matemática no puede desvincularse de la genealogía conceptual del objeto de estudio. Las dificultades que experimentan los estudiantes modernos a menudo replican las barreras conceptuales de los matemáticos del pasado. Al entender la transición histórica, el docente adquiere herramientas heurísticas para secuenciar el contenido didáctico con mayor claridad.

The other reason for surveying the history of the concept is our belief in the necessity of knowing the historical development of the concept for elaborating its teaching by genetic method. (Pág. 1866)

Introduce el concepto clave del "método genético" en la enseñanza, que es la solución pedagógica que el autor propone frente a las fallas de los currículos rígidamente formalizados.

El método genético (enraizado en principios piagetianos y de transposición didáctica) sugiere que el aprendizaje debe seguir una línea paralela al desarrollo histórico de las ideas. El concepto de función no nació de forma abstracta a través de la teoría de conjuntos, sino mediante la necesidad de modelar relaciones cuantitativas físicas y tablas de correspondencia (como las babilónicas o las curvas de Leibniz). Obligar a un alumno a asimilar el concepto puramente desde el formalismo de pares ordenados o mapeos rigurosos rompe la intuición natural del estudiante y genera rechazo cognitivo.

Finally, we conclude that the opinion about the introduction of a modern rigorous and precise definition of a mapping has not been reached not only in school-based education, but also at the undergraduate level of mathematics education. (Pág. 1866)

Describe el estado del arte y el conflicto actual en la educación matemática superior y escolar (el "problema educativo central" del artículo).

Safuanov expone un quiebre en la comunidad académica global. Tras las reformas de las "Matemáticas Modernas" del siglo XX, se intentó purificar la enseñanza utilizando la definición conjuntista rígida de Bourbaki para las funciones ("mapeos"). La evidencia empírica recopilada en Rusia y Europa demuestra que este rigor extremo a nivel escolar no ha sido alcanzado con éxito, e incluso en el nivel universitario inicial genera severas distorsiones donde el estudiante es capaz de repetir una definición formal pero es incapaz de usar el concepto para analizar variaciones, gráficos, o fenómenos dinámicos del cálculo.

La transición epistemológica del concepto de función se da a través de tres periodos fundamentales: la era analítica del siglo XVIII, la era de la correspondencia general del siglo XIX y la era estructural-conjuntista del siglo XX. El autor argumenta que el concepto mutó de una concepción puramente operativa y algebraica (expresiones analíticas de Bernoulli y Euler) hacia una definición abstracta de correspondencia arbitraria (Lobachevsky y Dirichlet) forzada por las necesidades de rigor en el análisis matemático.

La introducción post-guerra (1945-1960) de la definición conjuntista rígida basada en pares ordenados y "mapeos" (influencia de Bourbaki). El autor coincide con las críticas históricas de Felix Klein, señalando que este enfoque estructuralista moderno ignora la riqueza del desarrollo histórico posterior a Euler, eliminando el carácter dinámico del cálculo y aislando la matemática escolar de su intuición fundamental.

The definition of function as analytical expression, for the first time was distinctly formulated by J. Bernoulli in the article published in "Memoires de l'Academie des Sciences de Paris" in 1718: "Definition. A function of a variable is a quantity composed in any way from this variable and constants". The notation f(x) for a function was introduced by Leonhard Euler in 1734. (Pág. 1867)

Identifica el nacimiento de la primera definición formal explícita en la historia de las matemáticas y adjudica correctamente el origen de la notación universal \(f(x)\).

En este periodo, una función se concebía estrictamente como una ecuación algebraica o combinación analítica (v.g., polinomios, series de potencias, funciones trigonométricas). La fórmula era la función misma. Si escribimos \(f(x) = x^2 + 3x\), para Bernoulli la función no es la relación de dependencia entre conjuntos, sino la estructura algebraica \(x^2 + 3x\) combinada mediante operaciones aritméticas. Esto limitaba el concepto a curvas continuas "suaves" y derivables, excluyendo cualquier comportamiento geométrico irregular.

Euler's definition of a function given in the first volume of the "Introduction to the analysis of infinitesimals", appeared to be too narrow for the calculus as a whole. Euler formulated the new definition of a function in his foreword to the "Differential calculus" (Euler, 1755): "When quantities depend on others in such a way that at the change of the last they are also changed the first are called functions of the second ones." (Pág. 1867)

Muestra el momento exacto en que la matemática se ve obligada a romper el corsé algebraico para dar paso a una concepción cinemática y de dependencia de magnitudes.

Euler se dio cuenta de que el cálculo infinitesimal necesitaba modelar fenómenos físicos (como la cuerda vibrante) que no podían expresarse con una sola fórmula analítica elemental. Su definición de 1755 introduce una visión cinemático-dinámica: si la variable independiente \(x\) cambia, la variable dependiente \(y\) experimenta un cambio consecuente. No se requiere una fórmula explícita; la esencia de la función radica en la causalidad y covariación de las variables.

"… the general concept of function demands, that one should name a function of a number that is given for every x and that gradually changes together with x. A value of a function can be given either by analytical expression or by a condition which gives means to test all numbers and to choose one of them…". Thus, … the classical definitions of a function given by Lobachevsky in 1834 and by Dirichlet in 1837… (Pág. 1867)

Documenta la transición hacia el concepto moderno no-algebraico, donde la correspondencia entre variables es totalmente libre y arbitraria.

Esta definición (conocida en los textos actuales como la definición de Dirichlet) rompe cualquier vínculo con la obligatoriedad de una representación gráfica continua o una fórmula. Abre la puerta a monstruos matemáticos necesarios para el rigor del análisis, como la función de Dirichlet:

\[f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{si } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\]

Aquí no hay "cambio gradual" ni curva que dibujar, sino una ley lógica de asignación. Safuanov resalta que esta definición sigue siendo de naturaleza cuantitativa (número asignado a número), a diferencia del enfoque conjuntista posterior.

In the post-war decades (1945-1960), in connection with fast development of topology and abstract algebra, the most formal definition of a function (-mapping) was introduced into the world of mathematics… Klein (1927, p. 292) complained that "…the school mostly ignores all the development of a science which took place after Euler" and offered "… we wish that the function concept should be placed in the very center of mathematical instruction…" (Pág. 1867)

El argumento pedagógico del artículo demuestra cómo la abstracción matemática de mediados del siglo XX despojó a la función de su utilidad intuitiva en las aulas.

Con el auge de la escuela Bourbaki, la función se redefine formalmente como un subconjunto del producto cartesiano \(X \times Y\) que cumple condiciones de existencia y unicidad (\(f \subset X \times Y\)). Safuanov, respaldándose en Klein, argumenta que enseñar esta estructura lógica pura de "mapeo" a estudiantes que apenas inician el cálculo provoca una parálisis cognitiva. Se pierde la noción central del cálculo: el movimiento, la tasa de cambio y la variación, sustituyéndola por una teoría de conjuntos estática e infértil para la comprensión del cálculo infinitesimal temprano.

La evolución del currículo matemático ruso durante los siglos XIX y XX, ha servido como un estudio de caso sobre la tensión entre el rigor estructural y la intuición pedagógica. Safuanov expone cómo, a pesar de los esfuerzos globales por imponer las definiciones conjuntistas de post-guerra, la tradición pedagógica rusa (liderada inicialmente por las ideas de Felix Klein y textos clásicos como el de Kiselev) opuso una fuerte resistencia. Los programas educativos prefirieron mantener enfoques basados en la dependencia de magnitudes variables y representaciones gráficas elementales.

La penetración del enfoque Bourbaki de "mapeos" abstractos fue tardía y accidentada. Los textos escolares rusos mantuvieron durante décadas definiciones heredadas directamente de Euler, priorizando la utilidad de la función para el análisis dinámico y el cálculo sobre la pureza de la teoría de conjuntos abstracta.

Despite Klein's appeal… definitions of a function did not soon find the way to the educational practice and literature not only in secondary school but also in undergraduate mathematical education in our country. Up to the beginning of 21th century only the first part of Klein's appeal has been in essence executed: Euler's definition of a function has taken a strong place in school and university mathematical curricula. (Pág. 1868)

Esto pasara a evidencia que la práctica educativa real posee una inercia propia que rechaza los cambios puramente teóricos si estos no se adaptan a la psicología del aprendizaje.

Safuanov aclara que el llamado de Felix Klein tenía dos partes: introducir el concepto de función como el eje central de las matemáticas escolares y, simultáneamente, incorporar desarrollos modernos basados en conjuntos. La historia curricular demostró que los sistemas educativos asimilaron con éxito el protagonismo de las funciones, pero se detuvieron en la definición euleriana de dependencia cuantitativa. Esto valida la tesis del autor: la mente del estudiante del nivel inicial requiere un anclaje intuitivo (el cambio dinámico) antes de poder procesar estructuras lógicas puras.

"That variable whose numerical values change depending on numerical values of another one is called a dependent variable or a function of that other variable" (Kiselev, 1964, p. 25). In the textbook there was a talk about tabulated and graphical presentations of functions; however the emphasis was made on the analytical expression of a functional dependence. (Pág. 1868)

Presenta la definición que rigió la educación matemática de millones de estudiantes soviéticos durante más de medio siglo, sirviendo como el estándar del enfoque clásico no-conjuntista.

El texto de Kiselev (pilar de la edad de oro de la matemática escolar soviética) define la función no como un conjunto de pares ordenados, sino como la relación explícita entre dos variables numéricas: una independiente (\(x\)) y otra dependiente (\(y\)). Si denotamos el cambio como \(y = f(x)\), la atención se centra en la acción del cambio covariante. Aunque el texto introducía de manera saludable las representaciones tabulares y los gráficos cartesianos, el núcleo operativo seguía atado a la expresión analítica (las fórmulas). Esto facilitaba enormemente el tránsito hacia el cálculo de derivadas e integrales, pues los estudiantes operaban con variaciones continuas tangibles.

Similar definition was contained in the textbook of Barsukov for grades 6-8 used from 1956 to 1967… Still in 1970, in the algebra textbook of Kochetkov and Kochetkov… the similar definition is given… essentially ascending to Euler's one: "If to every value of a variable x somehow a certain value of another variable y is put into a correspondence one says that a function is defined…" (Pág. 1868)

Entonces esto documenta la persistencia del modelo conceptual euleriano hasta bien entrada la década de 1970, resistiendo activamente la ola mundial de las "Matemáticas Modernas".

Las definiciones de Barsukov y los hermanos Kochetkov refinan la idea de dependencia al introducir explícitamente la palabra "correspondencia" ("somehow… a certain value… is put into a correspondence"). A pesar de usar el término "correspondencia" (que roza la definición moderna), el contexto sigue firmemente amarrado a variables numéricas (\(x\) e \(y\)). No se habla de correspondencias entre conjuntos abstractos de elementos cualesquiera (como matrices, formas geométricas o espacios funcionales), sino de números que cambian en una recta real. Esto demuestra que la transposición didáctica en Rusia prefirió preservar la conexión natural de la función con la física y la geometría analítica elemental.

Safuanov describe la transición en la educación rusa durante los años 60 hacia la "bourbakización", introduciendo el rigor conjuntista en la enseñanza superior frente a los enfoques funcionales tradicionales. La reforma impulsada por Kolmogorov buscaba elevar el nivel científico, priorizando la precisión en las correspondencias numéricas sobre un formalismo vacío, según se detalla en la página 1869.

… Dorofeev (1978, p. 21) expressed similar educational ideas when he in a discussion article even protected a thesis about uselessness of the definition of a function: "Pupils have, basically, the correct substantial view of a function as a mathematical object…". (Pág. 1869)

Dorofeev argumenta que la comprensión intuitiva (visión sustancial) es a menudo más valiosa para el alumno que la memorización de la definición formal, destacando la resistencia pedagógica a la formalización excesiva, como se detalla en la página 1869.

Beginning with 1960s, as many researchers observe, owing to "bourbakization" of mathematics, set-theoretic concepts and, in particular, the general concept of a mapping (function) entered into curricula… (Pág. 1869)

Se contextualiza la influencia de Bourbaki desde los años 60, impulsando la adopción de conceptos teóricos de conjuntos y mapeos generales en los currículos soviéticos (Pág. 1869).

Kolmogorov supervised the reform of school mathematics teaching at the end of 60s… In the textbook for upper secondary school edited by Kolmogorov… "A correspondence with a domain D where to each number x from the set D a unique number y corresponds by some law, is called a numerical function"… (Pág. 1869)

Safuanov aclara que la reforma de Kolmogorov buscaba un equilibrio, utilizando definiciones precisas de "funciones numéricas" basadas en leyes de correspondencia, yendo más allá de la mera abstracción formal (Pág. 1869).

Finalmente se documenta el colapso definitivo del enfoque conjuntista puro en la escuela rusa y la polarización resultante en el ámbito universitario. Safuanov expone cómo figuras monumentales de la matemática soviética (como Lev Pontryagin) atacaron públicamente las reformas de Kolmogorov, calificándolas de destructivas por alienar a los estudiantes mediante formalismos estériles.

La experiencia histórica rusa demuestra que la "bourbakización" escolar fue un error metodológico que complicó innecesariamente el aprendizaje. A nivel de educación superior, el panorama actual sigue fragmentado: mientras los textos de álgebra abstracta adoptan la definición estática de "mapeo", los grandes manuales de análisis matemático (como los de Fichtenholz o Kudryavtsev) y álgebra lineal (como Gel'fand) preservaron la esencia dinámica euleriana para proteger la intuición necesaria en el cálculo.

The "Kolmogorov" reform met strong resistance in the school environment… Some prominent mathematicians such as Pontryagin in 1980, attacked Kolmogorov reforms… The article in that magazine (as well as in the newspaper "Pravda") was equivalent to the denunciation. As a result, the general concept of a mapping, as well as other general set-theoretic concepts, has been expelled from school curricula… (Pág. 1870)

Describe el clímax del conflicto político-pedagógico en Rusia que provocó la expulsión de la teoría de conjuntos del currículo escolar básico.

Lev Pontryagin (uno de los matemáticos más brillantes del siglo XX) lideró una campaña masiva contra la reforma escolar. Argumentaba que enseñar el concepto de función a través de "mapeos de conjuntos" y pares ordenados era una aberración pedagógica que dejaba a los estudiantes desarmados ante las aplicaciones físicas de la matemática. La presión académica fue tan severa que el Ministerio de Educación soviético se vio obligado a retirar los textos de Kolmogorov y regresar a enfoques donde la función recuperó su naturaleza de magnitud variable y cálculo dinámico.

So, in the set of textbooks of Mordkovich for grades 7-11 the dialectic approach to the introduction of mathematical concepts is applied: "…the concept of a function… should not, in a deep belief of the author, be introduced strictly from the very beginning, it should grow" (Mordkovich, 1998, p. 6). (Pág. 1870)

Introduce la solución moderna adoptada por los textos rusos post-soviéticos, alineada con el método genético defendido por el autor.

Mordkovich propone una metodología dialéctica: el concepto de función no debe presentarse de forma estática y acabada mediante una definición axiomática rígida el primer día de clases. Por el contrario, debe "crecer" de forma orgánica en la mente del estudiante. Primero se trabaja de forma operativa (gráficas, tablas, dependencias físicas elementales) y, a medida que el aparato cognitivo del alumno madura y las necesidades del cálculo lo exigen, se transiciona gradualmente hacia niveles superiores de rigor formal.

In undergraduate textbooks, since 60-70-s, the strict definition of a mapping basically has gained a strong position… however, in some undergraduate textbooks of the prominent scientists of the senior generation (for example, of Faddeev on algebra, of Gel'fand on linear algebra) authors still tried to avoid the introduction of the general definition of a mapping. (Pág. 1870)

Expone cómo incluso en la educación universitaria, los matemáticos más experimentados evitaban el formalismo extremo en favor de la claridad conceptual y operativa.

Safuanov destaca una contradicción interna en las facultades de ciencias. Mientras los textos de álgebra generalizados se apresuraron a adoptar la definición bourbakista de mapeos, grandes maestros de la investigación matemática como Dmitry Faddeev e Israel Gel'fand mantuvieron un enfoque pragmático y concreto en sus manuales. Esto demuestra que el rigor abstracto ciego no es sinónimo de una buena enseñanza superior; la conexión con la naturaleza concreta del objeto matemático (el vector, la matriz, la variable) debe prevalecer para construir un verdadero pensamiento matemático.